Nula, jeden, kvantum
Každý počítač počíta. Vykonáva logické operácie na úrovni núl a jednotiek. Ako však počíta ten kvantový?
Štyri spôsoby výpočtu odmocniny z dvoch: meraním času, meraním dĺžky, pomocou
pera a papiera a pomocou kalkulačky.
Čokoľvek, čo vieme pomenovať, zapísať či nakresliť, je vyjadriteľné pomocou bitov informácie. Čokoľvek, čo spravíme alebo sa udeje, predstavuje tiež len bity informácie. Informácia je všade a máme čo robiť, aby sme všetky jej bity získali a vyhodnotili. Počítač je zariadenie, ktoré nám pomáha v procese spracovania a vyhodnocovania informácií. Na základe vstupnej informácie nám poskytne požadovaný výstup. Či už ide o výpočet odmocniny, alebo navrhnutie víťaznej stratégie pre šachovú partiu, prípadne zistenie, čo nejaký program vlastne robí. Zmysel počítača je v tom, že je v týchto činnostiach rýchlejší ako my.
Algoritmy
Rýchlosť závisí od spôsobu výpočtu – algoritmu. Ak chceme vypočítať odmocninu z dvoch, tak môžeme nakresliť pravouhlý rovnoramenný trojuholník s dĺžkou ramien 1 dm a zmerať dĺžku prepony v decimetroch. Alebo zmeriame čas v sekundách, za ktorý padne kameň z výšky 9,81 m. Alebo na papieri začneme umocňovať čísla a postupne sa približovať k výsledku. Alebo na mobile otvoríme kalkulačku, trikrát ťukneme a máme výsledok.
Algoritmus je vlastne postupnosť jednoduchších krokov, ktoré potrebujeme vykonať. Na tej najnižšej úrovni ide o jednoduché logické operácie na úrovni bitov. Zložitosť algoritmu je vyjadrená počtom potrebných základných operácií. Čím je počet väčší, tým dlhšie algoritmus trvá.
Kalkulačka nerobí niečo, čo by sme nevedeli spraviť sami, len to robí nepomerne rýchlejšie. Na rozdiel od počítača má obmedzenú funkcionalitu a nedokáže priamo vypočítať ľubovoľnú funkciu. Počítač vieme programovať a jeho funkcionalita je obmedzená iba počtom bitov, s ktorými vie pracovať. Zmení sa niečo na funkcionalite počítača, ak bude kvantový?
Úloha pána Deutscha
V roku 1985 sformuloval David Deutsch problém, ktorý by sme mohli opísať takto: Predstavme si škatuľku so žiarovkou a vypínačom, ktorý vieme zapnúť do polohy nula alebo do polohy jeden. V závislosti od elektroniky v škatuľke žiarovka pri rôznej polohe vypínača buď svieti, alebo nesvieti. Koľkokrát potrebujeme škatuľku použiť, aby sme identifikovali, čo presne robí? Dvakrát. Koľkokrát ju potrebujeme použiť, aby sme zistili, či vypínač naozaj ovláda svietenie žiarovky? Tiež dvakrát. Je zrejmé, že potrebujeme zistiť, čo sa deje pre obe polohy vypínača.
Z pohľadu informácie je vstupný bit (poloha vypínača) transformovaný na výstupný bit (svieti = 1/nesvieti = 0). Na úrovni núl a jednotiek škatuľka počíta funkciu. Existujú spolu štyri možné funkcie. Identita nezmení hodnotu bitu, t. j. poloha jeden žiarovku rozsvieti a poloha nula ju nerozsvieti. Negácia (operácia NOT) zmení hodnotu bitu. V oboch týchto prípadoch vypínač naozaj ovláda rozsvietenie žiarovky. Ďalšie dve funkcie vstupný bit vymažú v zmysle, že hodnota výstupného bitu je konštantná. Žiarovka buď neustále svieti, alebo nesvieti pre obe polohy vypínača.
Úlohou je rozhodnúť opakovaným používaním naprogramovanej funkcie, či dáva konštantný výsledok, alebo nie. Konkrétnou otázkou je, koľkokrát túto funkciu potrebujeme vykonať. Vieme, že dvakrát. D. Deutsch však ukázal, že ak tieto štyri funkcie realizujeme na kvantovom počítači, tak nám funkciu stačí vykonať iba raz. Nezistíme síce, ako sa transformujú nula alebo jednotka, ale zistíme, či je funkcia ako celok konštantná, alebo nie je. Inými slovami, či vypínač
Úloha pána Deutscha – ovláda dvojpolohový vypínač žiarovku, alebo nie?
Trik menom superpozícia
Trik je skrytý vo vlastnostiach kvantových bitov – qubitov, ktoré môžu mať aj iné hodnoty ako nula alebo jeden. Hovoríme o superpozícii, ktorá vyjadruje, že hodnoty qubitov nie sú matematicky čísla, ale smery vektorov. A superpozícia znamená skladanie vektorov. Pomocou skladania vieme vyjadriť každý možný smer (každú hodnotu qubitu) ako váhovaný súčet (superpozíciu) smerov, ktoré zodpovedajú logickým hodnotám nula a jeden.
Ak máme garanciu, že konkrétny jeden qubit má jednu z dvoch navzájom kolmých hodnôt, tak túto hodnotu vieme určiť. Ak takúto garanciu o možných hodnotách qubitu nemáme, tak hodnotu qubitu nevieme určiť s istotou. Logické hodnoty nula a jeden preto kódujú navzájom kolmé vektory. Voľbou týchto vektorov definujeme tzv. výpočtovú bázu a meraním v tejto báze rozlišujeme logické hodnoty nula a jeden. Qubity v superpozícii logických hodnôt pri meraní vo výpočtovej báze vykazujú náhodné hodnoty. Pravdepodobnosti súvisia s váhovaním pri skladaní vektorov výpočtovej bázy.
Deutchov-Jozsov algoritmus
Kvantové riešenie úlohy pána Deutscha je založené na tom, že vstupný qubit, ktorým testujeme zariadenie, je superpozíciou nuly a jednotky. Výstupný qubit je tiež superpozíciou, ale jeho hodnota závisí iba od toho, či je funkcia konštantná, alebo nie. Navyše tieto dve rôzne výstupné hodnoty zodpovedajú navzájom kolmým smerom, a teda ich vieme jednoznačne určiť, a tým rozhodnúť, či je funkcia konštantná, alebo nie. A stačí nám použiť funkciu iba raz.
Kvantový obvod pre Deutsch-Jozsa algoritmus. Postupnosť kvantových logických hradiel testujúca konštantnosť neznámej N-bitovej funkcie jej jediným použitím.
V roku 1992 D. Deutsch a R. Jozsa rozšírili pôvodnú úlohu pre N vypínačov a jednu žiarovku. Funkcia je buď konštantná, alebo tzv. balansovaná, čiže sa rozsvieti presne pre polovicu vstupných hodnôt, a úlohou je rozhodnúť, o aký typ funkcie ide. Klasickým spôsobom je v najhoršom potrebné vyskúšať polovicu všetkých vstupov, čo znamená použiť funkciu 2N-1-krát. V kvantovej realizácii nám postačí funkciu vypočítať len raz, čo je naozaj dramatický rozdiel. Trik je pritom ten istý. Kvantový vstup je superpozíciou všetkých možných vstupov.
Je namieste priznať, že samotná úloha nemá praktické použitie, ale ukazuje, že qubity otvárajú nové možnosti a prekonávajú výpočtové možnosti klasických algoritmov. Čím to je? Spomenuli sme superpozíciu, ktorá nie je len zahmlenou hodnotou medzi nulou a jednotkou, ale je kvantovou hodnotou qubitu a svojím postavením plne ekvivalentnou nule a jednotke. Ako však superpozíciu pripraviť?
Kvantová logika
Kvantové počítače prinášajú do hry kvantové hradlá – logické operácie na úrovni jednotlivých qubitov, ktoré v klasických počítačoch jednoducho nemáme k dispozícii. Inými slovami, v rámci algoritmu máme možnosť použiť nové základné kroky. Jedným z takých je Hadamardove hradlo, ktoré vektory logických hodnôt mení na ich superpozície. Konkrétne hodnotu nula zmení na súčet hodnôt nula a jeden, a hodnotu jeden zmení na rozdiel hodnôt nula a jeden. Tieto hradlá nájdeme takmer vo všetkých známych kvantových algoritmoch.
Existuje aj qubitové hradlo Q, ktoré keď spravíme dvakrát za sebou, tak výsledkom je operácia logickej negácie (NOT). Rovnosť Q2 = NOT prirodzene hovorí, že Q samotné realizuje odmocninu z logickej negácie. Neviete si takúto logickú operáciu predstaviť? Nie ste sami. Odmocnina z NOT logické hodnoty qubitu na vstupe zmení na superpozície, ktoré pri meraní vo výpočtovej báze dávajú oba výsledky s rovnakou pravdepodobnosťou. Opätovné použitie Q zmení tieto superpozície znovu na logické hodnoty qubitu a výsledkom je logická operácia.
Bit vs qubit
Bit aj qubit majú spoločné, že kódujú maximálne jeden bit informácie. Čokoľvek vieme robiť s bitmi, vieme rovnako dobre robiť aj s qubitmi, ale nie naopak. Práve možnosť kvantových logických medzikrokov je potenciálnym zdrojom výhody qubitov.
Kvantové logické hradlo. Obrázok znázorňuje fyzikálnu realizáciu fotonického kvantového hradla, ktorého podstatou je špeciálne pripravený kryštál (kocka) v strede obrázku.
Počet kvantových logických operácií je nespočítateľne väčší ako tých logických, ktoré realizujú dnešné počítače. To so sebou neprináša užitočnosť automaticky – vieme však, že v niektorých prípadoch táto možnosť naozaj prináša dramatickú zmenu tým, že výpočtovo zložité úlohy mení na jednoduché. Ak v realizácii qubitov a kvantových hradiel uspejeme, budeme nielen vedieť riešiť niektoré nateraz ťažké úlohy, ale tiež efektívne modelovať kvantový svet.
Autori článku: Mário Ziman, Fyzikálny ústav SAV, v.v.i. v Bratislave
Ilustrácie: Diana Cencer Garafová, QUTE.sk – Národné centrum pre kvantové technológie
Zdroje obrázkov: Charles H. Bennett